TreeHeap kernel 的 mirror 手性翻转：几何翻转如何变成代数置换
先统一术语。
之前草稿里用了“共轭”这个词。这个词容易让人想到复数共轭、矩阵共轭、群表示里的 conjugation。SPR-040 现在不再这样叫。
这里讨论的是：
mirror / chiral flip / 左右镜像翻转
也就是把一棵 TreeHeap 的 left 和 right 对换。
这篇文章要证明一件很具体的事：
几何上的左右翻转，
可以在代数层面变成两个置换：
1. 堆地址置换
2. kernel 槽位置换
这不是语言理解 proof，也不是 WMT proof。它是 TreeHeap kernel 工具箱里的一个基础 proof。
为什么要证明 mirror
SPR-039 证明了：
参数 TreeHeap Theta 可以通过梯度学习一个局部卷积 kernel。
例如在 7 节点堆上：
1
/ \
2 3
/ \ / \
4 5 6 7
一个最小 kernel 可以写成：
theta = [theta_root, theta_left, theta_right]
它在某个内部节点 i 上做：
K_theta(H)[i]
= theta_root * H[i]
+ theta_left * H[left(i)]
+ theta_right * H[right(i)]
如果 theta = [1,1,1]，它就是局部求和。
但 Houming818 提醒了一个更关键的问题：
TreeHeap kernel 不能只会求和。
它应该能表达结构操作。
比如，左右镜像翻转。
如果 TreeHeap 真的是结构化空间，那么：
树翻了，
算子也应该按结构翻。
这就是 SPR-040。
mirror 在堆地址上的定义
仍然看这棵 7 节点完全二叉堆：
1
/ \
2 3
/ \ / \
4 5 6 7
左右 mirror 后：
1
/ \
3 2
/ \ / \
7 6 5 4
所以地址映射是：
M(1) = 1
M(2) = 3
M(3) = 2
M(4) = 7
M(5) = 6
M(6) = 5
M(7) = 4
如果用数组表示：
H = [1,2,3,4,5,6,7]
M(H) = [1,3,2,7,6,5,4]
这不是随便重排。
它是一个保持树结构的左右镜像。
代数上可以写成：
H' = P_m H
其中 P_m 是堆地址的置换矩阵。对于 7 节点堆，它对应：
P_m = (0, 2, 1, 6, 5, 4, 3)
这里用的是 zero-based index。
mirror 在 kernel 槽位上的定义
局部 kernel 是：
theta = [root, left, right]
如果树左右翻转，left 和 right 的意义也要交换。
所以 kernel 也要 mirror：
P_lr(theta) = [root, right, left]
写成矩阵：
P_lr =
[[1,0,0],
[0,0,1],
[0,1,0]]
这就是这篇 proof 的重点。
不是只翻树。
而是：
翻树地址 P_m
同时翻 kernel 槽位 P_lr
Claim
SPR-040 的 claim 是：
S1-KERNEL-MIRROR-C01:
TreeHeap local convolution is equivariant under mirror / chiral flip:
P_m K_theta(H) = K_{P_lr theta}(P_m H)
中文说：
先卷积，再 mirror
等价于
先 mirror，再用 mirror 后的 kernel 卷积。
这就是“几何操作由代数操作实现”。
一个具体例子
输入：
H = [1,2,3,4,5,6,7]
theta = [0.5, 1.25, -0.75]
这个 kernel 是故意选成非对称的。
因为如果用 [1,1,1]，left 和 right 权重一样，翻不翻都一样，证明没有力量。
root 节点的卷积：
K_theta(H)[1]
= 0.5*1 + 1.25*2 - 0.75*3
= 0.75
node 2：
K_theta(H)[2]
= 0.5*2 + 1.25*4 - 0.75*5
= 2.25
node 3：
K_theta(H)[3]
= 0.5*3 + 1.25*6 - 0.75*7
= 3.75
内部节点结果是：
[0.75, 2.25, 3.75]
mirror 后，node 2 和 node 3 的结构位置交换。
如果我们先 mirror 输入：
P_m H = [1,3,2,7,6,5,4]
就必须同时使用 mirrored kernel：
P_lr theta = [0.5, -0.75, 1.25]
这时两条路径会得到同一个结果：
P_m K_theta(H)
=
K_{P_lr theta}(P_m H)
Proof 分两部分
Proof A：演绎等式检查
这部分不训练。
直接检查：
left = P_m K_theta(H)
right = K_{P_lr theta}(P_m H)
然后算：
max_abs(left - right)
如果这个误差接近 0，就说明代数等式成立。
Proof B：归纳学习检查
这部分训练。
我们构造 mirrored data：
input = P_m H
target = internal_nodes(P_m K_theta(H))
然后让一个三槽位参数：
Theta = [theta_root, theta_left, theta_right]
通过 MSE loss 和梯度下降学习。
如果数据真的携带 mirror 规律，那么它应该学出：
Theta ~= P_lr theta = [0.5, -0.75, 1.25]
这一步说明的不只是“公式手写成立”，还说明这个 mirrored kernel 可以从数据里被学回。
实验结果
脚本：
ara/s1-echo/src/s1_mirror_kernel_symmetry_probe.py
证据：
ara/s1-echo/evidence/s1_mirror_kernel_symmetry_probe/
主机：
io.grepcode.cn
结果：
| 指标 | 数值 |
|---|---|
| pilot_pass | true |
| flipped-kernel test max error | 8.88e-16 |
| flipped-kernel OOD max error | 3.55e-15 |
| unflipped-kernel mean error | 6.4372 |
| learned mirrored theta | [0.5000000000000002, -0.7499999999999998, 1.2499999999999996] |
| theta-mirror L2 error | 5.44e-16 |
| learned test MSE | 1.01e-30 |
| learned OOD MSE | 9.76e-30 |
解释：
用 mirrored kernel 时，误差是机器精度。
不用 mirrored kernel 时，误差明显变大。
从 mirrored data 训练时，参数能学回 [root,right,left]。
所以：
S1-KERNEL-MIRROR-C01 -> supported pilot
这说明了什么
SPR-040 支持一个很重要的方向：
TreeHeap 的几何操作，可以下降到代数操作。
具体到这篇：
几何 mirror
-->
堆地址置换 P_m
+ kernel 槽位置换 P_lr
这让 TreeHeap kernel 不只是“局部求和器”。
它开始像一个结构化算子系统：
卷积
写入
读取
mirror
路径移动
子堆组合
子堆分解
这些都可以成为后续 encoder/decoder 的基本工具。
还没有证明什么
这次没有证明：
语言理解
WMT 翻译
真实语义 mirror
任意群等变
TreeHeap 胜过所有 flat model
它只证明：
TreeHeap 的 root/left/right 局部卷积，
在 mirror 操作下有正确的代数置换形式。
下一步
接下来可以沿着几个方向扩展：
1. scalar kernel -> vector / matrix kernel
2. depth-1 kernel -> recursive depth-k kernel
3. mirror -> path permutation / subtree move / slot transform
4. single kernel -> multi-kernel bank
5. toy heap -> short real corpus TreeHeap echo
如果这些继续成立，TreeHeap 的 kernel 就不是一组临时写出来的函数，而是一个可以逐步扩展的结构化代数工具箱。
一句话总结：
SPR-040 证明：
TreeHeap 的左右 mirror 可以用代数置换实现；
树地址要翻，kernel 的 left/right 槽位也要翻；
这个规则既能手算成立，也能从 mirrored data 里被梯度学回。
ARA: mirror kernel symmetry / evidence / claims