这篇文章固定什么
这是一篇设计确认稿，不是实验胜利公告。
我们最近重新检查了 TreeHeap token embedding 的“下坠”含义。旧实现把 token 的上下文共现 概率当作坐标，在每一层与左右节点的平均分布计算 JS 散度，再把连续选择压成一条路径。 这能分类，也能生成稳定地址，但它更接近递归概率 Hash：同一份共现分布被重复比较，没有一 个明确的局部几何算子保证特征逐层形成。
现在形成的新共识是：
这不是把二维小球比喻强行贴到神经网络上。下面给出它的可计算定义、尚未解决的启动问题和 可以否证它的实验边界。
为什么旧算法还不能叫特征下坠
A09 的输入是 token 的上下文概率分布：
$$ p_w \in \Delta^{K-1} $$节点保存落入本节点的平均上下文原型。token 每到一个节点，都重新计算：
$$ d_L=JS(p_w,q_L),\qquad d_R=JS(p_w,q_R) $$然后根据距离决定左右路径。但下坠过程中：
$$ p_w^{(d+1)}=p_w^{(d)} $$输入本身没有进入新的局部坐标，也没有从当前概率场产生新的观测方向。树只是在不同子集中 反复比较同一个分布。
A10 对 A09 最佳臂进行了逐值重构和节点解剖。冻结合同完全复现：
| 指标 | 结果 |
|---|---|
| 活跃 token | 945 |
| leaf | 32 |
| sealed-C NLL | 4.992762973593261 |
| leaf utilization | 29/32 = 0.90625 |
| root child JS | 0.5713615 |
节点确实形成了可解释的数值判别特征，但最强轴首先是中文与英文/拉丁字符，其后是数字、 标点、子词形态和语料风格。各深度平均 child JS 为：
depth 0: 0.5714
depth 1: 0.2993
depth 2: 0.2076
depth 3: 0.0520
depth 4: 0.0361
这说明“数值特征存在”已经有证据，“逐层形成语义特征”仍然没有。粗层迅速消耗了语种与 表面形式差异，深层虽然质量更均匀，但左右原型的可分性已经很弱。
一般的 L-leaf 单纯形
16 个 leaf 只是讨论时的例子。正式定义不锁死 leaf 数量。
设 TreeHeap 有 $L$ 个 leaf，token $w$ 的状态为：
$$ r_w=(r_{w1},\ldots,r_{wL}),\qquad r_{wi}\ge 0,\qquad \sum_{i=1}^{L}r_{wi}=1 $$因此：
$$ r_w\in\Delta^{L-1} $$它有 $L$ 个概率坐标和 $L-1$ 个自由度：
| leaf 数量 | 单纯形自由度 |
|---|---|
| 8 | 7 |
| 16 | 15 |
| 32 | 31 |
| 64 | 63 |
这里的 $r_w$ 才是 token 在 TreeHeap 中的几何位置。它不是旧实现里的 $K$ 维共现统计表。
切空间：概率怎样合法移动
因为概率和始终为 1，合法移动方向 $u$ 必须满足：
$$ \sum_i u_i=0 $$所有这样的方向构成单纯形的切空间。主轴、梯度投影和局部旋转都必须留在这个空间内，否则 一次更新就可能把总概率从 1 推走。
例如：
$$ u=(0.1,-0.1,0,\ldots,0) $$表示从第二个 leaf 向第一个 leaf 搬运 0.1 的概率，总质量保持不变。
每个节点观察自己的局部点云
令 $m_{wv}$ 表示 token $w$ 到达节点 $v$ 的概率。节点 $v$ 只观察到达本地的加权点云。 它的局部中心为：
$$ \mu_v= \frac{\sum_wm_{wv}r_w} {\sum_wm_{wv}} $$局部协方差为：
$$ C_v= \frac{ \sum_wm_{wv}(r_w-\mu_v)(r_w-\mu_v)^\top }{ \sum_wm_{wv} } $$因为不同节点接收到的 token 和权重不同，所以通常有：
$$ C_{\mathrm{root}} \ne C_{\mathrm{left}} \ne C_{\mathrm{right}} $$这正是“每个路由点的观测主轴不同”的数学来源。
主轴不是随意增加的一组参数
对局部协方差求特征分解：
$$ C_vu_{v,k}=\lambda_{v,k}u_{v,k} $$最大的特征值对应第一主轴：
$$ u_v=\operatorname{eigmax}(C_v) $$$u_v$ 表示本节点中概率点变化最大的方向，$\lambda_v$ 表示沿这个方向的变化强度。
当前共识不是让梯度直接随意修改 $u_v$。更符合几何含义的做法是：
- 关系损失推动 token 位置 $r_w$ 变化；
- 节点重新观察局部点云；
- 协方差 $C_v$ 随之变化；
- 主轴 $u_v$ 由新的协方差重新计算。
因此主轴是局部概率场的观测结果，而不是人工塞进节点的左右偏见。
从主轴产生概率路径
token 相对节点中心的位置投影到主轴：
$$ z_{wv}=u_v^\top(r_w-\mu_v) $$为了让不同节点的尺度可比较，可以使用主特征值标准化：
$$ \hat z_{wv}= \frac{z_{wv}} {\sqrt{\lambda_v+\varepsilon}} $$再把它变成连续路由概率：
$$ P(L\mid w,v)=\sigma(\hat z_{wv}) $$$$ P(R\mid w,v)=1-P(L\mid w,v) $$这里不提供最低基数流量，不设置先强制均匀、后逐步撤销的保护项，也不加入容量平衡惩罚。 左右概率只由 token 在当前局部坐标系中的位置决定。
如果采用硬路由，超平面：
$$ u_v^\top(r-\mu_v)=0 $$会把一个凸区域继续切成两个凸区域。采用软路由时，它变成一条概率过渡带，每个节点对应 一个加权局部区域。
共现信息放在哪里
共现关系仍然有用，但它不再是下坠坐标，也不需要作为一个大概率数组沿树传递。
它只负责提供训练关系。语料中的一次事件：
center token w -> observed context c
要求当前位置 $r_w$ 能够预测实际上下文：
$$ \mathcal L_{\mathrm{context}}
-\log P(c\mid r_w) $$
这条梯度推动 token 的单纯形位置变化。位置变化以后，局部中心、协方差、主轴和路径再依次 变化。
因此链路应当是：
$$ \text{语料关系} \rightarrow \text{位置梯度} \rightarrow r_w \rightarrow C_v \rightarrow u_v \rightarrow \text{概率路径} $$共现只是可选的关系来源。句序、翻译对齐、问答关系或任务损失也可以承担同一角色。如果完 全没有关系数据，token ID 只是编号，任何语义排列都无法从编号本身推导出来。
为什么选择固定点
token 位置决定局部主轴，局部主轴又改变 token 的下坠路径。它们不是一次前向计算就能独 立确定的：
$$ r^{(t)} \rightarrow C^{(t)} \rightarrow u^{(t)} \rightarrow \operatorname{route}^{(t)} \rightarrow r^{(t+1)} $$目标是找到自洽状态：
$$ r^*=F(r^*) $$这里至少需要同时观察两种收敛：
第一种是 token 位置变化：
$$ \frac1N\sum_wJS(r_w^{(t+1)},r_w^{(t)})\rightarrow0 $$第二种是节点主轴旋转：
$$ \theta_v^{(t)}= \arccos\left( \left|{u_v^{(t+1)}}^\top u_v^{(t)}\right| \right)\rightarrow0 $$绝对值用于消除特征向量的符号歧义：$u$ 与 $-u$ 是同一根轴，只是左右名称互换。
尚未闭合的核心：F 到底是什么
这篇文章没有假装最后一个公式已经解决。
我们已经一致确认：
- token 状态属于一般 $L$-leaf 单纯形；
- 每个节点从局部点云计算不同主轴；
- 路由是局部投影产生的连续概率；
- 关系数据只通过 loss 推动位置，不作为下坠坐标；
- 系统应通过迭代寻找固定点。
但仍缺少一个关键定义：
一轮所有节点的概率路由，怎样严格构造下一轮 token 状态 $r^{(t+1)}=F(r^{(t)})$？
如果直接把 root-to-leaf 路径概率当成新的 $r$，可能出现自我强化和早期路径锁定。如果把 它与旧状态简单平均，又引入了人为时间常数。如果让任务梯度独立更新 $r$，则必须说明 TreeHeap 路由在状态形成中究竟承担什么因果作用。
因此 $F$ 是下一阶段的算法核心，而不是可以藏在实现细节里的一个赋值语句。
启动时的对称性问题
若所有 token 严格从同一个均匀点开始：
$$ r_w^{(0)}=(1/L,\ldots,1/L) $$那么所有 token 的局部协方差为零：
$$ C_v^{(0)}=0 $$此时不存在可识别主轴。系统必须由关系损失、可审计的确定性扰动或一个明确的启动阶段打破 对称性。这个启动过程必须单独登记，不能把随机初始化偷偷当成已经形成的语义。
下一步实验合同
下一阶段暂称 A11“自洽单纯形下坠”。它应当先经过 toy，而不是直接消耗大规模语料。
建议的尺度不是固定 16，而是：
$$ L\in\{8,16,32,64\} $$需要记录：
- 均匀状态能否在明确关系力下启动；
- 不同节点的主轴夹角是否真正分化；
- leaf 状态与主轴是否收敛，还是周期振荡；
- 是否有大量 token 或节点坍缩到同一位置；
- 去掉局部主轴后，关系预测是否显著变差；
- 增加 $L$ 是否带来连续容量收益；
- 结果是否跨 seed 保持，而不是一次随机坐标排列。
任何一次较低 loss 都不能单独证明这套几何成立。真正的支持证据必须同时包含：固定点、局部 主轴分化、结构消融和可解释的路径变化。
当前结论
旧路线已经证明：递归概率 Hash 可以形成稳定地址，也可以形成数值判别特征。但它没有证明 特征会逐层下沉。
新的方向把问题重新定义为：
在 $L-1$ 维概率单纯形中，让每个 TreeHeap 节点观察自己的局部点云和主轴；让 token 在一系列不同的局部坐标系中形成概率路径；再寻找位置、主轴与路径共同自洽的固定点。
我们现在已经对几何对象和信息来源达成一致，但固定点算子 $F$ 仍然开放。下一步不是宣布 架构完成，而是把这个开放位置写成代码、toy 和可以失败的 Claim。
License: GPLv3。本文中的概率单纯形、局部主轴、固定点定义、实验边界与后续 ARA 设计按项目许可证公开，欢迎复现、批评与提出反证。